Теорема об изменении количества движения точки. Изменение количества движения механической системы Теорема об изменении количества движения материальной
Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде
Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем
(3.32)
В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения
Но 
как векторное произведение параллельных векторов. После этого получаем
(3.33)
Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.
 |
Пример вычисления кинетического момента системы. Вычислить кинетический момент относительно точки О системы, состоящей из цилиндрического вала массой М = 20 кг и радиусом R = 0.5м и спускающегося груза массой m = 60 кг (рисунок 3.12). Вал вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω = 10 с -1 .
Рисунок 3.12
; ; 
При заданных входных данных кинетический момент системы
Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)
Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим
По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил
поэтому полученное соотношение можно представить в виде
Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.
3.3.5. Работа силы
1) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус вектора точки приложения силы (рис. 3.13)
Рисунок 3.13
Выражение (3.36) можно записать также в следующих эквивалентных формах
где - проекция силы на направление скорости точки приложения силы.
2) Работа силы на конечном перемещении
Интегрируя элементарную работу силы, получим следующие выражения для работы силы на конечном перемещении из точки А в точку В
3) Работа постоянной силы
Если сила постоянна, то из (3.38) следует
Работа постоянной силы не зависит от формы траектории, а зависит только от вектора перемещения точки приложения силы .
4) Работа силы веса
Для силы веса (рис. 3.14) и из (3.39) получим
Рисунок 3.14
Если движение происходит из точки В в точку А, то
В общем случае
Знак «+» соответствует движению точки приложения силы «вниз», знак «-» - вверх.
4) Работа силы упругости
Пусть ось пружины направлена по оси x (рис.3.15), а конец пружины перемещается из точки 1 в точку 2, тогда из (3.38) получим 
Если жесткость пружины равна с , то , тогда
А 
(3.41)
Если конец пружины перемещается из точки 0 в точку 1, то в этом выражении заменяем , , тогда работа силы упругости примет вид
(3.42)
где - удлинение пружины.
Рисунок 3.15
5) Работа силы приложенной к вращающемуся телу. Работа момента.
На рис. 3.16 показано вращающееся тело, к которому приложена произвольная сила . При вращении точка приложения этой силы движется по окружности.
(Фрагменты математической симфонии)
Связь импульса силы с основным уравнением ньютоновской динамики выражает теорема об изменении количества движения материальной точки.
Теорема. Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы (), действующей на материальную точку за тот же промежуток времени. Математическое доказательство этой теоремы можно назвать фрагментом математической симфонии. Вот он.
Дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на материальную точку. Интегрируя выражение (128) дифференциала количества движения материальной точки, имеем
(129)
Теорема доказана и математики считают свою миссию законченной, а у инженеров, судьба которых - свято верить математикам, возникают вопросы при использовании доказанного уравнения (129). Но их прочно блокирует последовательность и красота математических действий (128 и 129), которые завораживают и побуждают назвать их фрагментом математической симфонии. Сколько поколений инженеров соглашались с математиками и трепетали перед таинственностью их математических символов! Но вот нашёлся инженер, несогласный с математиками, и задаёт им вопросы.
Уважаемые математики! Почему ни в одном из Ваших учебников по теоретической механике не рассматривается процесс применения Вашего симфонического результата (129) на практике, например, при описании процесса разгона автомобиля? Левая часть уравнения (129) предельно понятна. Автомобиль начинает разгон со скорости и завершает его, например, на скорости . Вполне естественно, что уравнение (129) становится таким
И сразу возникает первый вопрос: как же из уравнения (130) определить силу , под действием которой автомобиль разогнан до скорости 10м/с? Ответа на этот вопрос нет ни в одном из неисчислимых учебников по теоретической механике. Пойдём дальше. После разгона автомобиль начинает равномерное движение с достигнутой скоростью 10м/с. Какая же сила движет автомобиль????????? У меня ничего не остаётся, как краснеть вместе с математиками. Первый закон ньютоновской динамики утверждает, что при равномерном движении автомобиля на него не действуют никакие силы, а автомобиль, образно говоря, чихает на этот закон, расходует бензин и совершает работу, перемещаясь, например, на расстояние 100 км. А где же сила, совершившая работу по перемещению автомобиля на 100км? Симфоническое математическое уравнение (130) молчит, а жизнь продолжается и требует ответа. Начинаем искать его.
Поскольку автомобиль движется прямолинейно и равномерно, то сила, перемещающая его, постоянна по величине и направлению и уравнение (130) становится таким
(131)
Итак, уравнение (131) в данном случае описывает ускоренное движение тела. Чему же равна сила ? Как выразить её изменение с течением времени? Математики предпочитают обходить этот вопрос и оставляют его инженерам, полагая, что они должны искать ответ на этот вопрос. У инженеров остаётся одна возможность – учесть, что если после завершения ускоренного движения тела, наступает фаза равномерного движения, которое сопровождается под действием постоянной силы представить уравнение (131) для момента перехода от ускоренного к равномерному движению в таком виде
(132)
Стрелка в этом уравнении означает не результат интегрирования этого уравнения, а процесс перехода от его интегрального вида к упрощённому виду. Сила в этом уравнении эквивалентна усреднённой силе, изменившей количество движения тела от нуля до конечного значения . Итак, уважаемые, математики и физики-теоретики, отсутствие Вашей методики определения величины Вашего импульса вынуждает нас упрощать процедуру определения силы , а отсутствие методики определения времени действия этой силы вообще ставит нас в безвыходное положение и мы вынуждены использовать выражение для анализа процесса изменения количества движения тела. В результате получается, чем дольше будет действовать сила , тем больше её импульс . Это явно противоречит давно сложившимся представлениям о том, что импульс силы тем больше, чем меньше время его действия.
Обратим внимание на то, что изменение количества движения материальной точки (импульса силы) при ускоренном её движении происходит под действием ньютоновской силы и сил сопротивления движению, в виде сил, формируемых механическими сопротивлениями, и силой инерции. Но ньютоновская динамика в абсолютном большинстве задач игнорирует силу инерции, а Механодинамика утверждает, что изменение количества движения тела при его ускоренном движении происходит за счёт превышения величины ньютоновской силы над силами сопротивления движению, в том числе и над силой инерции.
При замедленном движении тела, например, автомобиля с выключенной передачей, ньютоновская сила отсутствует, и изменение количества движения автомобиля происходит за счёт превышения сил сопротивления движению над силой инерции, которая движет автомобиль при его замедленном движении .
Как же теперь вернуть результаты отмеченных «симфонических» математических действий (128) в русло причинно-следственных связей? Выход один – найти новое определение понятиям «импульс силы» и «ударная сила». Для этого разделим обе части уравнения (132) на время t. В результате будем иметь
. (133)
Обратим внимание на то, что выражение mV/t - скорость изменения количества движения (mV/t) материальной точки или тела. Если учесть, что V/t – ускорение, то mV/t - сила, изменяющая количество движения тела. Одинаковая размерность слева и с права знака равенства даёт нам право назвать силу F ударной силой и обозначить её символом , а импульс S - ударным импульсом и обозначить его символом . Из этого следует и новое определение ударной силы. Ударная сила , действующая на материальную точку или тело, равна отношению изменения количества движения материальной точки или тела ко времени этого изменения.
Обратим особое внимание на то, что в формировании ударного импульса (134) участвует только ньютоновская сила, которая изменила скорость автомобиля от нулевого значения до максимального - , поэтому уравнение (134) всецело принадлежит ньютоновской динамике. Поскольку величину скорости фиксировать экспериментально значительно легче, чем - ускорения, то формула (134) очень удобна для расчётов.
Из уравнения (134) следует такой необычный результат.
Обратим внимание на то, что согласно новым законам механодинамики генератором импульса силы при ускоренном движении материальной точки или тела является ньютоновская сила . Она формирует ускорение движения точки или тела, при котором автоматически возникает сила инерции, направленная противоположно ньютоновской силе и ударная ньютоновская сила должна преодолевать действие силы инерции, поэтому сила инерции должна быть представлена в балансе сил в левой части уравнения (134). Так как сила инерции равна массе точки или тела, умноженной на замедление , которое она формирует, то уравнение (134) становится таким
(136)
Уважаемые математики! Видите, какой вид приняла математическая модель, описывающая ударный импульс, который ускоряет движение ударяемого тела от нулевой скорости до максимальной V (11). Теперь проверим её работу в определении ударного импульса , который равен ударной силе , выстрелившей 2-й энергоблок СШГ (рис. 120), а Вам оставим Ваше бесполезное уравнение (132). Чтобы не усложнять изложение, мы оставим пока формулу (134) в покое и воспользуемся формулами, дающими усреднённые значения сил. Видите, в какое положение Вы ставите инженера, стремящегося решить конкретную задачу.
Начнём с динамики Ньютона. Эксперты установили, что 2-й энергоблок поднялся на высоту 14м. Поскольку он поднимался в поле силы тяжести, то на высоте h=14м его потенциальная энергия оказалась равной
а средняя кинетическая энергия была равна
Рис. 120. Фото машинного зала до катастрофы
Из равенства кинетической (138) и потенциальной (137) энергий следует средняя скорость подъёма энергоблока (рис. 121, 122)
Рис. 121. Фотон машинного зала после катастрофы
Согласно новым законам механодинамики подъём энергоблока состоял из двух фаз (рис. 123): первая фаза ОА - ускоренный подъём и вторая фаза АВ – замедленный подъём , , .
Время и расстояния их действия, примерно, равны (). Тогда кинематическое уравнение ускоренной фазы подъёма энергоблока запишется так
. (140)
Рис. 122. Вид колодца энергоблока и самого энергоблока после катастрофы
Закон изменения скорости подъёма энергоблока в первой фазе имеет вид
. (141)
Рис. 123. Закономерность изменения скорости V полёта энергоблока
Подставляя время из уравнения (140) в уравнение (141), имеем
. (142)
Время подъёма блока в первой фазе определится из формулы (140)
. (143)
Тогда общее время подъёма энергоблока на высоту 14м будет равно . Масса энергоблока и крышки равна 2580 тонн. Согласно динамике Ньютона сила , поднимавшая энергоблок, равна
Уважаемые математики! Следуем Вашим симфоническим математическим результатам и записываем Вашу формулу (129), следующую из динамики Ньютона, для определения ударного импульса, выстрелившего 2-й энергоблок
и задаём элементарный вопрос: как определить время действия ударного импульса, выстрелившего 2-й энергоблок????????????
Уважаемые!!! Вспомните, сколько мела исписали на учебных досках поколения Ваших коллег, заумно уча студентов, как определять ударный импульс и никто не пояснил, как определять время действия ударного импульса в каждом конкретном случае. Вы скажете время действия ударного импульса равно интервалу времени изменения скорости энергоблока от нуля до, будем считать, максимального значения 16,75 м/с (139). Оно в формуле (143) и равно 0,84 с. Соглашаемся пока с Вами и определяем усреднённую величину ударного импульса
Сразу возникает вопрос: а почему величина ударного импульса (146) меньше ньютоновской силы 50600тонн? Ответа, у Вас, уважаемые математики, нет . Пойдём дальше.
Согласно динамике Ньютона, главная сила, которая сопротивлялась подъёму энергоблока, - сила тяжести . Так как эта сила направлена против движения энергоблока, то она генерирует замедление, которое равно ускорению свободного падения . Тогда сила гравитации, действующая на летящий вверх энергоблок, равна
Других сил, препятствовавших действию ньютоновской силы 50600 тонн (144), динамика Ньютона не учитывает, а механодинамика утверждает, что подъёму энергоблока сопротивлялась и сила инерции, равная
Сразу возникает вопрос: как найти величину замедления движению энергоблока? Динамика Ньютона молчит, а механодинамика отвечает: в момент действия ньютоновской силы, поднимавшей энергоблок, ей сопротивлялись: сила тяжести и сила инерции, поэтому уравнение сил, действовавших на энергоблок в этот момент, записывается так .
Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .
Основное уравнение динамики в неподвижной системе
Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса
где a абс – абсолютное ускорение;
a отн – относительное ускорение;
a пер – переносное ускорение;
a кор – кориолисово ускорение.
Перепишем (25) с учетом (26)
Введем
обозначения
-
переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда
уравнение (27)
приобретает вид
Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.
Общие теоремы динамики материальной точки
При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.
Теорема об изменении количества движения материальной точки
Введем следующие динамические характеристики:
1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости
.
(29)
2. Импульс силы
Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени
(30).
Тогда полный импульс
.
(31)
При F =const получим S =Ft .
Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.
Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.
Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.
О
УД:
.
(32)
Разделяем в (32) переменные и интегрируем
.
(33)
В итоге, принимая во внимание (31), получаем
.
(34)
Уравнение (34) выражает следующую теорему.
Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.
При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат
Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.
Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
М
омент
количества движения материальной точки
относительно центра равен произведению
модуля количества движения точки на
плечо, т.е. кратчайшее расстояние
(перпендикуляр) от центра до линии,
совпадающей с вектором скорости
,
(36)
.
(37)
Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.
Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .
,
,
,
(38)
.
(39)
Вычислим производную от (39)
.
(40)
Объединяя (40) и (38), окончательно получим
.
(41)
Уравнение (41) выражает следующую теорему.
Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат
В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.
Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).
Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.
Если
,
то
.
Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.
Состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M j с массой m j . На эту точку, как известно, действуют внешние и внутренние силы .
Приложим к точке M j равнодействующую всех внутренних сил F j i и равнодействующую всех внешних сил F j e (рисунок 2.2). Для выделенной материальной точки M j (как для свободной точки) запишем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (2.3):
Запишем аналогичные уравнения для всех точек механической системы (j=1,2,3,…,n) .
Рисунок 2.2
Сложим почленно все n уравнений:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i , (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i . (2.10)
Здесь ∑m j ×V j =Q
– количество движения механической системы;
∑F j e = R e
– главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему;
∑F j i = R i =0
– главный вектор внутренних сил системы (по свойству внутренних сил он равен нулю).
Окончательно для механической системы получаем
dQ/dt = R e . (2.11)
Выражение (2.11) представляет собой теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему .
Проецируя векторное равенство (2.11) на декартовы оси координат, получаем выражения для теоремы об изменении количества движения механической системы в координатном (скалярном) выражении:
dQ x /dt = R x e ;
dQ y /dt = R y e ;
dQ z /dt = R z e , (2.12)
т.е. производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую-либо ось равна проекции на эту ось главного вектора всех действующих на эту механическую систему внешних сил .
Умножая обе части равенства (2.12) на dt , получим теорему в другой дифференциальной форме:
dQ = R e ×dt = δS e , (2.13)
т.е. дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора (сумме элементарных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему .
Интегрируя равенство (2.13) в пределах изменения времени от 0 до t , получаем теорему об изменении количества движения механической системы в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):
Q — Q 0 = S e ,
т.е. изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора (сумме полных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени .
Проецируя векторное равенство (2.14) на декартовы оси координат, получим выражения для теоремы в проекциях (в скалярном выражении):
т.е. изменение проекции количества движения механической системы на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса главного вектора (сумме полных импульсов) всех действующих на механическую систему внешних сил за тот же промежуток времени .
Из рассмотренной теоремы (2.11) – (2.15) вытекают следствия:
- Если R e = ∑F j e = 0 , то Q = const – имеем закон сохранения вектора количества движения механической системы: если главный вектор R e всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величине и направлению и равным своему начальному значению Q 0 , т.е. Q = Q 0 .
- Если R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0) , то Q x = const – имеем закон сохранения проекции на ось количества движения механической системы: если проекция главного вектора всех действующих на механическую систему сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту же ось вектора количества движения этой системы будет величиной постоянной и равной проекции на эту ось начального вектора количества движения, т.е. Q x = Q 0x .
Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Из (2.11) можно получить теорему Эйлера.
В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.
Формулировка теоремы
Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.
( кг·м/с)
Теорема об изменении количества движения системы утверждает
Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.
Закон сохранения количества движения системы
Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме
:
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.
(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )
Теорема об изменении момента количества движения относительно центра
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
Теорема об изменении момента количества движения относительно оси
производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:
Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
Доказательство теоремы обь ихменении количества движения
Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:
Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .
Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то
Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде
Учитывая,
что 
и
суммируя все уравнения второго закона
Ньютона, получаем:
Выражение представляет
собой сумму всех внутренних сил,
действующих в системе. По третьему
закону Ньютона в этой сумме каждой
силе соответствует
сила такая,
что и,
значит, выполняется 
Поскольку
вся сумма состоит из таких пар, то и сама
сумма равна нулю. Таким образом, можно
записать
Используя для количества движения системы обозначение , получим
Введя в
рассмотрение изменение импульса внешних
сил 
,
получим выражение теоремы об изменении
количества движения системы в
дифференциальной форме:
Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.
Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:
где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется
